用微积分如何计算曲面的表面积电子通信和

2023/5/3 来源：不详

让我们看一下连续函数y=f（x）在区间[a，b]围绕x-轴旋转的情况。我们还需要假设导数在[a，b]上是连续的。下面是函数的草图以及通过将函数绕x旋转得到的旋转固体-轴。

我们可以推导表面积的公式，就像推导弧长的公式一样。首先将间隔分为n个宽度相等的子区间ΔX。在每个子间隔上，我们将使用与每个间隔的端点处的函数一致的直线来近似函数。下图是n=4的函数的示意图。

现在，围绕X轴旋转，我们得到以下固体。

在每个间隔上的近似值给出了实体的不同部分，并且为了清楚起见，每个部分的颜色都不同。这些部分中的每一个都称为小锥体，我们知道如何找到视锥小锥体的表面积

对于截距为[xi1，xi]的视锥我们有，

而弧长公式为（这里是微元弧长）

并且由于f（x）是连续的，Δx非常小，那么我们可以假设，

因此，截距为[xi1，xi]的截锥体表面积大约是

那么整个固体的表面积大约是

我们可以通过将极限n趋于无穷大。来获得确切的表面积

我们还可以得出一个类似的公式在区间[c，d]上绕y-轴旋转。这将给出以下公式